壬寅年春节，几何趣题
大罕

【诗题】(来自于 中效数学 ，此处由大罕改编)
两圆相切共紫点，大圆两点生紫弦。
紫弦蓝圆亦相切，红紫两点蓝线连。
蓝线平分绿线角，如此这般因何缘？

【题目】
已知：⊙M与⊙N内切于点A，弦BC与圆N相切于点D，
求证：AD平分∠CAB. 如图1.

【证明一】延长AD交圆M于点E，连接ME交BC于点F，如图2，
因为⊙M与⊙N内切于点A，所以M、N、A三点共线，
∵NA=ND，MA=ME，
∴∠NAD=∠NDA=∠MEA，∴ND∥ME，
∵D是切点，∴MD⊥BC，∴ME⊥BC，
∴点E是弧BC的中点，
∴∠CAD=∠DAB. 即AD平分∠CAB.

【证明二】设AB、AC分别交圆N于点E、F，过点A作两圆的公切线AG，则∠BAG=∠ACB=∠AFE，如图3，∴EF∥BC，∴∠3=∠4，
由弦切角、圆周角知识，有∠3=∠2，∠4=∠1，
∴∠1=∠2，即AD平分∠CAB.

【证明三】由证明二知EF∥BC，如图4，连接ND，则
ND⊥BC，所以ND⊥EF，
∴弧DE=弧DF，
∴∠CAD=∠DAB. 即AD平分∠CAB.

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